Combinatorics of non - ambiguous trees † ‡

This article investigates combinatorial properties of non-ambiguous trees. These objects we define may be seen either as binary trees drawn on a grid with some constraints, or as a subset of the tree-like tableaux previously defined by Aval, Boussicault and Nadeau. The enumeration of non-ambiguous trees satisfying some additional constraints allows us to give elegant combinatorial proofs of identities due to Carlitz, and to Ehrenborg and Steingrı́msson. We also provide a hook formula to count the number of non-ambiguous trees with a given underlying tree. Finally, we use non-ambiguous trees to describe a very natural bijection between parallelogram polyominoes and binary trees. Résumé. Cet article s’intéresse aux propriétés combinatoires des arbres non-ambigus. Ces objets, que nous définissons, peuvent être vus soit comme des arbres dessinés sur une grille sous certaines contraintes, soit comme un sous-ensemble des tableaux boisés précédemment définis par Aval, Boussicault et Nadeau. L’énumération des arbres non-ambigus satisfaisant des contraintes supplémentaires nous permet de donner des preuves combinatoires élégantes d’identités dues à Carlitz, et à Ehrenborg et Steingrı́msson. Nous donnons aussi une formule des équerres pour le comptage des arbres non-ambigus dont l’arbre sous-jacent est fixé. Enfin, nous utilisons les arbres non-ambigus pour décrire une bijection très naturelle entre polyominos parallélogrammes et arbres binaires.